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La ley de Darcy en Flujos
Multifásicos
Marcelo A. Crotti (Última modificación -
27 de noviembre de 2001).
Ya
fue analizada (en la página Un Análisis Especial de la
Ley de Darcy) la
modificación hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifásico en
medios porosos.
En
dicho desarrollo quedó establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
sólo un factor de corrección de la ecuación de Darcy. Aunque parezca
trivial mencionarlo, una consecuencia directa de esta definición es que las
curvas de permeabilidad relativa pierden significado físico si, por alguna
razón, la ley de Darcy no resulta aplicable. En
la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia, principalmente, de la pérdida de linealidad entre
el gradiente de presión y el caudal que fluye por el sistema. Si bien
esta situación representa un caso obvio de pérdida de significado de las
curvas de permeabilidad relativa, en el presente desarrollo voy a analizar una
situación no documentada en la literatura especializada y que afecta de manera
mucho más profunda el uso habitual de las curvas de KR. La
Tesis que se analiza en los párrafos que siguen puede resumirse de la siguiente
forma: Muchas
veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la
ecuación no están definidas. Y
en este punto es importante destacar que con la expresión "... no
están definidas", no hago referencia a un problema de medición o de
metodología. Lo que quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor
a las variables mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace
frecuentemente) dejan de ser válidos los resultados derivados a partir de la
aplicación de la ecuación de Darcy. Como este punto es conceptualmente muy
delicado primero voy a hacer algunas analogías que ayuden a entender el enfoque
de esta página. Si
intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros específicos con códigos pre-establecidos
podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe: A
la pregunta: Peso del objeto?, seguramente podremos responder sin ambigüedad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto. Lo
mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen, lugar de destino, longitud, ancho, etc...) Pero
supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre 20
colores pre-establecidos. Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de
Basquetball con una mitad amarilla y otra azul. Un
poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas:
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto, pero Verde (resultado de mezclar
50% de Amarillo con 50% de azul) parece peor aún. A modo de ejemplo, si a alguien se le pide que nos
alcance el objeto Verde que está en una habitación, difícilmente
identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido.
Bien,
como veremos a continuación, este ejemplo risueño no está tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofásico (un solo color) al ámbito de los flujos multifásicos (varios
colores). Si los colores están uniformemente distribuidos podremos decir
"Verde" para describir el objeto, pero si los colores (fluidos) no
están uniformemente distribuidos tropezaremos con una seria dificultad para
describir el objeto de estudio con formularios simples.
Volviendo
al empleo de las curvas de KR como factor de corrección de la ecuación de
Darcy, para aplicar dicha ecuación al flujo multifásico se encontraron dos
"soluciones" que evitaban la ambigüedad originada entre la
definición y la posibilidad de medición:
- La
definición de permeabilidad (corazón de la ecuación de Darcy) implica la
determinación de la capacidad de conducción de un determinado
fluido.
- Lo
único que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyección
o de producción de un determinado fluido.
La
primera "solución", respetando el orden histórico, fue la de
re-crear las condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy:
Inyección = Conducción = Producción. De este modo se puede medir una de estas
propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa.
(NOTA:
No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos. Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de
su capacidad de admitir o expulsar fluidos).
Esta
primera "solución" se logró mediante el sistema estacionario de
medición (Penn-State o sus variantes posteriores), donde se inyecta una cierta
proporción de ambas fases hasta que la producción se hace idéntica a la
inyección (se alcanza el estado estacionario). En ese momento todas las
variables de la ecuación de Darcy están perfectamente definidas (la pelota es Verde
puesto que en todas partes se encuentra la misma proporción de pigmento
azul y de pigmento Amarillo).
La
segunda "solución" consiste en crear un objeto de estudio donde los
tres verbos (inyectar, conducir y producir) son idénticos por definición. Esta
situación se presenta tomando una sección de longitud cero (una lámina
bidimensional) en el
medio poroso. En una lámina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce. Esta condición no puede lograrse
en ninguna medición real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor
no nulo, de modo que se obtiene a través de un cálculo medianamente complejo.
En resumen, esto es lo que se hace mediante el cálculo de KR con el método
no-estacionario (Welge1,2, JBN3,
Jones-Roszele4): Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una lámina de espesor nulo. Esta lámina
es, por conveniencia, el extremo de producción pues es el único lugar en que
se puede evaluar físicamente el valor que toma una de las tres acciones
(verbos) mencionadas: La Producción del sistema.
En
medios homogéneos ambas "soluciones" brindan el mismo resultado, y
esa solución es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las
curvas de KR como factor de corrección de la ecuación de Darcy.
A
modo de analogía, tanto en Física como en Matemáticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolución
de las ecuaciones es particularmente simple. Y, a primera vista, parece que esa
es la vía elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en
desplazamientos multifásicos. Sin embargo, es conveniente señalar dos puntos
en este enfoque.
- Las
soluciones particulares no sirven para describir los casos generales.
- En
el caso de la ecuación de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas, sino porque es la única forma de obtener
un valor único para algunas variables del cálculo.
En
otras palabras, lo
que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo histórico es que
en la caracterización de reservorios muy raras veces el reservorio es
"Verde". Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes
saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema.
Quizás
un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema:
Supongamos
que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la delgadez es
útil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en su
interior). Si el tubo está vacío parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0). Por muy grande que sea la diferencia de
presión que apliquemos entre sus extremos, difícilmente el tubo sea capaz de
conducir agua, hasta que tenga agua en su interior. En términos de la ecuación de Darcy diríamos que la
permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturación de agua es
cero.
Sin
embargo nadie pensaría que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero.
Lo que sí es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el
agua alcanza el extremo de salida. Dicho de otra forma, podemos estar inyectando
agua sin producir agua.
Si
este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar, conducir y producir) en un sistema no estacionario, tratemos de analizar qué ocurre cuando el tubo
se ha llenado con agua hasta el 50 % de su longitud.
Cuál
es la capacidad de conducir agua cuando la saturación de agua es sólo del
50%?.
Antes
de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la pelota azul
y amarilla. En la pelota teníamos dos colores y nos pedían que la
describiéramos con uno solo. Ahora tenemos dos capacidades de conducción bien
definidas (El valor "X" que resulte de las ecuaciones de flujo en la
zona con agua y CERO en la zona sin agua). Qué valor ponemos en la ecuación de
Darcy?:
- X
? (Azul?)
- 0
? (Amarillo ?)
- X/2
? (Verde?)
Al
dar la respuesta (que no parece fácil) debemos tener en cuenta que la ecuación
de Darcy nos pide la capacidad de conducción del sistema y para ello nos da un
casillero único en el que podemos poner un sólo valor. La ecuación de
Darcy se transformó en el formulario del risueño ejemplo de la pelota de
Basquetball.
Y
además, recordando que trabajamos en la industria del petróleo, en cualquier sistema real sólo nos
interesa la capacidad de inyección o de producción. La capacidad de
conducción es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir. Cuando se
habla de la admisión o de la producción de un determinado pozo, damos por
sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el
pozo, pero las variables realmente medibles son las del pozo.
En
este punto, y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo
conviene hacer un pequeño resumen de la situación a la que hemos llegado:
- La
ecuación de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofásicos en medios porosos.
- Para
describir flujos multifásicos se adoptó un modelo basado en la ecuación
de flujo monofásico, corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa.
- Este
factor, una vez determinado (experimental o analíticamente) depende sólo
de la saturación de las diferentes fases en el medio poroso.
- Sin
embargo, como se mostró en este desarrollo, la capacidad de conducción de
fluidos (corazón de la ecuación de Darcy) no puede definirse en sistemas
con saturación no homogénea. En estos sistemas sólo existe una capacidad
perfectamente definida de inyección y de producción.
La
respuesta al problema planteado (cómo describir el flujo multifásico en
sistemas reales) no es la que nuestra industria ha estado usando
históricamente. Nuestra industria ha respondido, desde sus orígenes, con ...
"Verde"
!!!.
Y,
claro, esto ha originado algunos problemas. Recordemos, por ejemplo, que en una
celda de un simulador numérico se resuelve la ecuación de Darcy con el color Verde. Esto da lugar, entre otras cosas, al conocido fenómeno de dispersión
numérica5.
Y
en base a lo expuesto parece evidente que todo
lo que hay que hacer para resolver adecuadamente el problema es usar un
formulario que permita poner varios colores para describir los objetos.
La
solución para diferentes situaciones se analiza en las siguientes
páginas:
Mas temas sobre el movimiento de fluidos en el reservorio
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Referencias
1.- Buckley,
S.E., and Leverett, M.C.: “Mechanism of Fluid Displacement in Sands”, Trans.,
AIME (1942) 146, 107-116.
2.- Welge
H.,J.: “A Simplified Method for Computing Oil Recovery by Gas or Water
Drive”, Trans, AIME (1952), 195, 91
3.- Johnson,
E.F., Bossler, D.P., and Naumann, V.O.: “Calculation of Relative Permeability
from Displacement Experiments”, Trans., AIME (1959) 216, 370-372.
4.- Jones,
S.C., and Roszelle, W.O., “Graphical Techniques for Determining Relative
Permeability from Displacement Experiments”, J. Pet Tech. (May 1978) 807-817;
Trans., AIME, 265
5
- Crotti, M., and Cobeñas, R., "Scaling Up of Laboratory Relative
Permeability Curves. An Advantageous Approach Based on Realistic Average Water
Saturations", SPE 69394
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