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Un Análisis Especial de la
Ley de Darcy
por M. Crotti.<(Última modificación -
26 de noviembre de 2001).
La
ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental, trabajando
con medios homogéneos y con un solo fluido. Sin embargo la formulación más
simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse casi
"intuitiva": El caudal de un fluido que circula por un medio poroso
lineal depende de:
- Las
propiedades geométricas del sistema: Área (A) y Longitud (L).
- Las
características del fluido: Principalmente su Viscosidad (µ).
- Las
condiciones de flujo: Diferencia de Presión (DP) entre los extremos
del sistema.
De
este modo resulta casi "evidente" que, a igualdad de las otras
variables del sistema, el caudal (Q) que circula por el medio poroso
crece en forma directa con la diferencia de presión aplicada y con el área de
flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del
fluido.
En
forma analítica esta dependencia se expresa en la siguiente fórmula:
- Q
= K . A . DP / (µ . L) .......... [1]
Donde
la constante que vincula ambos términos de la ecuación se conoce como Permeabilidad
del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio. Expresado en otras
palabras: Cualquier cambio en las variables que se encuentran en el lado derecho
de la expresión produce un re-acomodamiento en las otras variables, o en el
caudal, pero la Permeabilidad permanece inalterada.
Una
vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no depende
del fluido, ni de la geometría del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe
definir dicha propiedad de la siguiente forma:
La
Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir
fluidos. En la práctica, dicha
capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal
entrante o saliente del sistema.
En
el modelo empleado para la medición y cálculo de la permeabilidad de un medio
poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la
capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos.
Dicho modelo (Conducción = Inyección = Producción)
es absolutamente válido en las condiciones planteadas por Darcy (flujo
de un fluido incompresible, lineal y monofásico). Sin
embargo, en los Reservorios reales, casi nunca se está en condiciones de flujo
monofásico. Por el contrario es frecuente el flujo bifásico ó trifásico. En
estos casos se continúa respetando la ecuación de Darcy, a la que se agrega un factor
de corrección. Este factor de corrección toma la forma de una
curva, cuyo valor depende de la saturación de fluidos en el sistema. En estos
casos, tomando como ejemplo el flujo simultáneo de agua y petróleo, la
ecuación [1]
adquiere la forma:
- Qw
= K . Krw . A . DPw / (µw . L)
.......... [2]
- Qo
= K . Kro . A . DPo / (µo .
L) .......... [3]
Donde
los subíndices "w" y "o" hacen referencia al agua y
al petróleo respectivamente. La validez de esta generalización queda
demostrada si el
caudal de cada fase es proporcional a la diferencia de presión aplicada a cada
una de ellas para una determinada saturación de fases.
- Nota:
En ausencia de Presión Capilar, ambas diferencias de presión
resultan coincidentes.
Los
términos "K . Krw " y "K . Kro " se
reemplazan regularmente por "Kw" (permeabilidad efectiva al
agua) y "Ko" (permeabilidad efectiva al
petróleo) Sin
embargo al realizar esta generalización de la ley de Darcy suele olvidarse
(de hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he
tenido acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir, Inyectar y Producir).
Como veremos, esta observación esta muy lejos de ser trivial. Las consecuencias
de esta diferencia afectan todo el andamiaje
en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa. En
base a lo expuesto, en flujos multifásicos se extiende
la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como: Permeabilidad
efectiva a una fase es la capacidad de un medio
poroso de conducir dicha fase a una determinada saturación de fluidos.
Sin embargo, en general dicha
capacidad de conducción no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyección o de
producción. Y
cabe recordar que en los casos reales (caracterización de reservorios) los datos de mayor
interés son:
- La
Saturación Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un Balance
de Materiales o una celda en un simulador numérico).
- La
capacidad de inyectar en un punto específico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas).
- La
capacidad de producir en un punto específico (pozo productor o contacto con
celdas cercanas).
De
este modo, aplicando
el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un determinado
fluido se transforma en un ente algo abstracto, dado que el interés se centra
en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido.
En
términos simples, cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los
reservorios reales durante la explotación) se puede inyectar una cosa, conducir
otra y producir otra totalmente diferente.
La
forma en que esta característica afecta la medición y traslado de la
información de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo
reciente1.
Este
análisis continua en el texto: La ley de Darcy en Flujos
Multifásicos.
Mas temas sobre el movimiento de fluidos en el reservorio
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1
- Crotti, M., and Cobeñas, R., "Scaling Up of Laboratory Relative
Permeability Curves. An Advantageous Approach Based on Realistic Average Water
Saturations", SPE 69394
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