Qué Saturación Corresponde a las Curvas KR?

por M. Crotti y S. Illiano (Última modificación - 11 de noviembre de 2000)

Este desarrollo contiene un fuerte llamado de atención con respecto al traslado de la información de laboratorio a la escala de reservorio.

Aunque pueda parecer sorprendente la curva de KR, tal como se obtiene regularmente en los laboratorios no es apta para ser empleada directamente en un balance de materiales. Y al decir "no es apta", no estamos haciendo referencia a falta de representatividad, sino a que conceptualmente no es correcto emplear la curva de laboratorio para esa finalidad. 

Siendo más específicos, si imaginamos un reservorios absolutamente homogéneo, del cual se extraen diez coronas que resultan idénticas y cada corona se envía a un laboratorio diferente, y todos los resultados dan la misma curva de KR (no importa si hablamos de sistemas agua-petróleo o gas-petróleo), esa curva no es apta para ser usada directamente ni en un balance de materiales, ni en una celda cualquiera (o todas) de un simulador numérico.

El desarrollo (y demostración) de las afirmaciones previas requiere algunas páginas y, en el camino, resultará necesario hacer un poco de historia. Esperamos que la explicación resulte entretenida, pues intentamos llamar la atención sobre algunos supuestos implícitos y explícitos que se han ido encadenando para que en alguna medida, el concepto de KR se haya desvirtuado a pertir de su concepción original. Como suele ocurrir, el problema radica en la falta de interacción entre las partes que participan en la medición y empleo de las curvas de KR.

A modo de introducción al desarrollo completo podemos decir que:

La curva de permeabilidad relativa de laboratorio expresa la dependencia funcional entre saturación puntual de agua (y/o gas) y la capacidad de la roca para conducircada fase cuando el desplazamiento es gobernado solamente por las fuerzas viscosas.

La curva de permeabilidad relativa que acompaña un Balance de Materiales (en el reservorio global o en una celda de un simulador numérico), expresa la dependencia funcional entre la saturación media de agua (y/o gas) y la capacidad de la roca para producircada fase cuando el desplazamiento responde al equilibrio de fuerzas capilares, gravitatorias y viscosas.

Como veremos, la diferencia entre ambas curvas puede ser muy grande. Sin embargo, el mensaje completo de esta exposición, lejos de ser desalentador, pretende ayudar a que los datos de laboratorio se empleen de forma tal que sean de mayor utilidad para la caracterización de los reservorios.

Un Poco de Historia.

Para entender el desarrollo de muchos conceptos relacionados con la generación y empleo de las curvas de Permeabilidad Relativa es necesario describir someramente la secuencia histórica del desarrollo tecnológico asociado.

Tan pronto como quedó en evidencia que el mejor método de optimizar la producción de los reservorios era el de ahondar en el conocimiento de los mismos, se vio que que era necesario encontrar una relación funcional entre la saturación de fluidos en la roca y su capacidad de producción para las diferentes fases. 

El primer método de medición a escala de laboratorio, fue el método estacionario (ME). En este caso la secuencia de medición puede resumirse de la siguiente forma:

1. Se empaqueta la muestra en una celda adecuada.
2. Se inyectan las dos fases a estudiar empleando una determinada relación de caudales.
3. Se prosigue la inyección de ambas fases hasta que la relación de producción es idéntica a la relación de inyección. En este punto se calcula la permeabilidad a ambas fases mediante la ley de Darcy.
4. Se mide la saturación de ambas fases en el medio poroso (por resistividad, Rayos X o algún otro método calibrado).
5. Se cambia la relación de inyección (aumentando la proporción de la fase con saturaciones creciente en el reservorio) y se repite la secuencia desde el punto -3-.

El método es conceptualmente simple pero operativamente largo y medianamente complejo. El cálculo es muy simple (Ley de Darcy).

Sin embargo, por su importancia en la explicación siguiente, cabe hacer notar que:

1. En la medición se eliminan los efectos capilares (genéricamente agrupados como efectos de borde). La metodología más frecuente recurre a prolongar el medio poroso para que los efectos capilares se produzcan fuera de la zona de medición.
2. Las fuerzas gravitatorias quedan eliminadas automáticamente por el pequeño tamaño de las muestras de laboratorio.
3. Cuando se alcanza el estado estacionario, la saturación de fases en cualquier punto de la muestra (saturación puntual) es la misma que la saturación media del medio poroso (saturación media). En este método no hay diferencia entre la saturación puntual y la saturación media del sistema.
4. El empleo de la ley de Darcy para resolver el cálculo se basa en una suposición débil: Cuando se hacen las cuentas se acepta que la relación entre diferencia de presión y caudal es lineal sin verificarlo. Y existen numerosas excepciones a esta regla en flujos multifásicos. Este punto se desarrollará oportunamente.
5. Los puntos extremos de saturación se obtienen inyectando una sola fase, hasta que deja de producirse la otra fase.

Más adelante, gracias al desarrollo teórico de Buckley y Leverett¹, completado por Welge² y ampliado por Johnson, Bossler y Naumann³, se pudieron realizar mediciones con el denominado método no-estacionario (MNE). 

La metodología experimental frecuente, para el MNE, puede resumirse en la siguiente secuencia.

1. Extracción de una muestra ("plug") horizontal, de 25 ó 38 mm de diámetro y entre 6 y 7 cm de longitud, en la corona seleccionada para estudio.
2. Lavado para eliminación de agua, petróleo y sales del medio poroso.
3. Medición de la porosidad y permeabilidad al gas de la muestra.
4. Saturación con agua de formación o equivalente.
5. Medición de la permeabilidad absoluta al agua.
6. Barrido con petróleo hasta obtener "Swirr".
7. Medición de la Permeabilidad efectiva al petróleo en condiciones de agua irreductible [Ko(Swirr)].
8. Ensayo de desplazamiento, por inyección de agua, registrando presiones y caudales de las fases producidas. Esta inyección continúa hasta obtener la "Sor".
9. Medición de la Permeabilidad efectiva al agua en condiciones de petróleo residual [Kw(Sor)]
10. Lavado de las muestras para cierre de balance volumétrico.
11. Cálculo.

Esta secuencia sufre alteraciones cuando se trabaja sobre muestras en "Estado Nativo", eliminando los puntos -2-, -4- y -5- y dejando para el final el punto -3-.

En este caso el cálculo es complejo (en el cálculo explícito intervienen ajustes numéricos y derivadas primeras y segundas de los datos experimentales), la metodología experimental es simple y el desarrollo teórico requiere que el medio sea totalmente homogéneo.

Conviene detenerse un poco en los datos experimentales que se obtienen en la medición con el MNE.

• Si la inyección se produce a presión constante (casi obligatorio en las mediciones gas-petróleo) se registra el volumen producido, de ambas fases, a lo largo del tiempo.
• Si la inyección se produce a caudal constante se registra el volumen producido, de ambas fases, y la diferencia de presión, entre ambas caras del medio poroso, a lo largo del tiempo.

Con el juego de valores recogido puede derivarse fácilmente:

• El caudal medio de producción de cada fase entre dos mediciones de tiempo. Un ajuste numérico simple permite derivar el caudal a partir del gráfico Volumen-Tiempo para cada fase.
• La saturación media del sistema. Como se inyecta una sola fase, restando (al volumen inicial), el volumen producido de la fase desplazada, el balance volumétrico permite averiguar la saturación promedio de cada fase en el medio poroso.

A esta altura puede parecer que se dispone de toda la información necesaria para aplicar la ley de Darcy (diferencia de presión, medidas geométricas del medio poroso, caudal y viscosidad de cada fase) para derivar la permeabilidad efectiva a cada fase. Además se dispone de la saturación media del sistema. Donde está, entonces, la complejidad del cálculo?. La respuesta analítica se obtiene con el desarrollo de los autores mencionados, pero conceptualmente puede hacerse notar que. 

• Los caudales de producción son los que corresponden a los caudales que circulan sólo en la cara de salida. En cualquier otro punto los caudales son diferentes pues la muestra va cambiando su saturación continuamente. A modo de ejemplo, en la cara de entrada sólo circula la fase inyectada.
• Salvo un conjunto muy afortunado de coincidencias, el gradiente de presiones en la muestra es variable.
• La saturación del sistema (entre sus extremos geométricos) es variable. En cada instante, en la cara de entrada se tiene la máxima saturación de fase desplazante y en la cara de salida la mínima. De este modo la saturación media no se corresponde con la saturación de la cara de salida, que es la asociada con los caudales de producción.

Conceptualmente, los desarrollos teóricos mencionados permiten resolver el sistema de modo que se puede calcular el gradiente de presión y la saturación en la cara de salida. Y como disponemos del caudal de producción, la aplicación de la ley de Darcy conduce a la obtención de las curvas de permeabilidad relativa en función de la saturación puntual del sistema (saturación en la cara de salida). 

Pero ya mencionamos que la saturación media, en el MNE, difiere de la saturación puntual. En principio, este detalle no reviste importancia pues la saturación media  sólo sirve para obtener la saturación puntual.

Hasta aquí todo parece ser consistente pues debe agregarse que las curvas obtenidas por el MNE y por el ME coinciden en los medios homogéneos. De hecho, esta fue la forma experimental de validar la medición por el MNE.

Y ¿dónde está el problema?

Simplemente en que:

• En el reservorio (o en una celda de un simulador numérico) sólo se dispone de la saturación media del sistema.
• Y en la enorme mayoría de los desplazamientos reales, la saturación varía mucho entre las distintas partes de la estructura involucradas en el desplazamiento. De hecho, sólo en los desplazamientos en estructuras horizontales y dominadas por la segregación gravitacional la saturación es uniforme en todo el reservorio (pero justamente en este caso la curva de laboratorio no es representativa pues la gravedad se elimina en la medición). 

En realidad la pregunta debe reformularse para tomar una forma como la siguiente:

Por qué en el laboratorio no se genera una curva que sea trasladable directamente al reservorio?

Y la respuesta es compleja y es, en alguna medida, el objetivo principal de este desarrollo. Y esta respuesta involucra, entre otros temas, la manera correcta de generar las pseudo funciones (en función de la saturación media y NO de la saturación puntual), la dependencia de los puntos extremos de saturación con los mecanismos de drenaje, etc.

Pese a que el tema se desarrolla ampliamente en otro apartado, en este punto es conveniente aclarar un concepto que no parece estar suficientemente desarrollado en los libros especializados.

A una misma saturación de agua (media o puntual), en el mismo medio poroso y con el mismo juego de fluidos, pueden corresponderle permeabilidades relativas totalmente diferentes.

 Y no estamos haciendo referencia sólo a las pseudo funciones para medios heterogéneos. Si tenemos una capa "water-wet" totalmente homogénea horizontal, formada por un medio poroso que tiene capilares grandes, medios y pequeños en cantidades significativas, se pueden dar tres situaciones principales de flujo (y todas las variantes intermedias).

• Primer caso: Flujo dominado por las fuerzas capilares. En este caso el agua invade primero los capilares más pequeños. En consecuencia un importante crecimiento en la Sw se acompaña de un pequeño incremento en la Kw.
• Segundo caso: Flujo dominado por las fuerzas gravitatorias. En este caso el agua invade primero los niveles inferiores, ocupando por igual todos los diámetros capilares. En consecuencia la Kw crece linealmente con la Sw (cuando el agua ocupa un 30 % de la capa, la Kw es un 30% del valor correspondiente a la máxima Sw (en condiciones de Sor).
• Tercer caso: Flujo a altas velocidades. En este caso el agua invade primero los capilares más grandes (con menos resistencia al flujo). En consecuencia un pequeño crecimiento en la Sw se acompaña de un notable incremento en la Kw.

Y si a esta altura la pregunta es: Pero entonces existen innumerables curvas de KR para un juego dado de medio poroso y fluidos?. La respuesta es decididamente SI. 

Sin duda los conceptos expuestos hasta este punto resultan llamativos. De modo que antes de  introducir nuevos conceptos, vamos a hacer un pequeño resumen para condensar el desarrollo hasta este punto.

• En los cálculos habituales de reservorio se emplean saturaciones medias de las fases.
• Las saturaciones medias y las puntuales son notablemente diferentes.
• En el reservorio actúan las fuerzas capilares, gravitatorias y viscosas. En diferentes partes de una misma capa homogénea estas fuerzas se equilibran en forma diferente: En las cercanías del pozo (altos caudales), tienden a predominar las fuerzas viscosas y lejos del pozo pueden predominar los equilibrios capilar-gravitatorios. 
• Los laboratorios informan curvas de KR en función de saturaciones puntuales, eliminando la contribución de fuerzas capilares y gravitatorias.
• La ley de Darcy (proporcionalidad entre diferencia de presión y caudal) suele no cumplirse en flujos multifásicos. La explicación es simple: Cada fase actúa bloqueando poros para la otra fase, pero, al tratarse de fluidos, son deformables con los cambios de velocidad de flujo. Por lo tanto la geometría de los canales que llevan el flujo puede cambiar con el caudal.

Cabe aclarar que si el mensaje parece desalentador, en realidad puede resultar más complejo intentar usar conceptos no del todo claros. Y, como suele ocurrir, es necesario entender a fondo el problema para que sea posible resolverlo adecuadamente. 

Y, naturalmente, se puede resolver.

El análisis detallado de la solución se presenta en el paper SPE 69394⁵, seleccionado para ser expuesto en el VII LACPEC (Latin American and Caribbean Petroleum Engineering Conference, Buenos Aires, Argentina, 25-28 Marzo 2001).

NOTAS

Para aquellos que, luego de leer este desarrollo, se sientan tentados a descartar el MNE en favor del ME pues en el ME las dos saturaciones (media y puntual) son iguales, cabe aclarar que en realidad la solución al problema pasa por descartar las mediciones del ME tal cómo se concluye en el desarrollo sobre Metodologías de Medición de las curvas de KR. 

Mas temas sobre movimientos de fluidos en el reservorio

Volver a la página principal

1 - Buckley, S.E., and Leverett, M.C.: “Mechanism of Fluid Displacement in Sands”, Trans., AIME (1942) 146, 107-116.

2 - Welge H.,J.: “A Simplified Method for Computing Oil Recovery by Gas or Water Drive”, Trans, AIME (1952), 195, 91

3 - Johnson, E.F., Bossler, D.P., and Naumann, V.O.: “Calculation of Relative Permeability from Displacement Experiments”, Trans., AIME (1959) 216, 370-372.

4 - Jones, S.C., and Roszelle, W.O., “Graphical Techniques for Determining Relative Permeability from Displacement Experiments”, J. Pet Tech. (May 1978) 807-817; Trans., AIME, 265

5 - Crotti, M.,  and Cobeñas, R., "Scaling Up of Laboratory Relative Permeability Curves. An Advantageous Approach Based on Realistic Average Water Saturations", SPE 69394