Temas de Ingeniería de Reservorios
Promedios de Curvas de Permeabilidad Relativa. 
Segunda Parte: Desplazamientos estacionarios
Autor: M. Crotti.

En el desarrollo presentado en Prom_Curv_KR_1.htm  se analizaron las curvas de Permeabilidad Relativa de un sistema heterogéneo, formado por capas paralelas homogéneas, durante un desplazamiento no-estacionario. En ese desarrollo se mostró que dicha curva de Permeabilidad Relativa  no se obtiene promediando las curvas propias de las diferentes capas.

En esta página vamos a analizar el comportamiento del mismo medio poroso heterogéneo mostrado esquemáticamente en la Fig. 1, pero sometido a un desplazamiento estacionario.

Y asumiremos que posee las mismas propiedades que se discutieron para el caso de desplazamiento no-estacionario:

• Ambas capas poseen el mismo espesor y la misma porosidad. 
• La capa superior posee una permeabilidad efectiva al petróleo en condiciones de Swirr "Ko[Swirr]" de 90 mD, en tanto que la capa inferior posee una permeabilidad de 10 mD, en las mismas condiciones. El conjunto posee una permeabilidad de 50 mD.
• La curva que se muestra en la Fig. 2, como ya se estableció, es la misma para ambos niveles,.

Nuevamente la pregunta es: Cuál es la curva de permeabilidad relativa para todo el bloque indicado en la Fig.1?.

Segundo Caso. Flujo no-estacionario

En el desplazamiento estacionario se inyectan ambas fases móviles en proporción fija, hasta que, luego de superar un transitorio no-estacionario, la producción es idéntica a la inyección. En otras palabras, la secuencia de medición y cálculo es la siguiente:

1. Se elige una proporción de caudales de ambas fases. Por ejemplo Qw/Qo = 1/9.
2. Se mantiene la inyección en la proporción establecida hasta que se produce exactamente los mismos caudales que se inyectan.
3. Cómo el sistema está en estado estacionario, se aplica la ecuación de Darcy para obtener las permeabilidades a ambas fases en la saturación que se establezca en el sistema.
4. Se aumenta la proporción de agua en la inyección (curva de imbibición) y se repite la secuencia desde el punto "1".

Para hacer el desarrollo, iniciamos el estudio en un punto cualquiera de la curva. 

Supongamos que elegimos los siguientes caudales de inyección:

• Qw = 0.5 cm³/min
• Qo = 3.5 cm³/min

Como la relación de viscosidades es unitaria (m_o=m_w=1), despreciando efectos capilares, la relación de caudales es proporcional a la relación de permeabilidades relativas. En la Fig. 2 se observa que dicha relación de permeabilidades relativas se establece cuando Sw=50%.

• Krw_[Sw=50%] = 0.05
• Kro_[Sw=50%] = 0.35

De este modo en cualquiera de las capas que se inyecte dicha proporción de fluidos se alcanzará el estado estacionario (igual Sw en todo el medio poroso) cuando la Sw alcance el valor de 50% VP. En dicha saturación, la proporción de fases que circulan por el medio poroso es la que establece el cociente de permeabilidades relativas.

En otras palabras, al alcanzar el estado estacionario, la saturación de agua puntual y la saturación de agua media de cada capa resultan iguales entre sí y ambas toman el valor de 50%.

Lo anterior está ejemplificado gráficamente en las Fig. 3 a 5. En el esquema se agrega un difusor (medio poroso homogéneo) cuya función es la de difundir ambas fases en forma homogénea por toda la cara de ingreso de fluidos. 

Fig. 3 - Ambas capas reciben agua y  petróleo pero a diferente velocidad. Cada capa admite en forma proporcional a su permeabilidad.	Fig. 4 - La capa más permeable alcanzó el estado estacionario, pero la capa menos permeable aún está en un transitorio.	Fig. 5 - Las dos capas alcanzaron el  estado estacionario y producen de  acuerdo a su relación de  permeabilidades.

Haciendo las cuentas correspondientes para el estado estacionario, y teniendo en cuenta que por la capa superior circulan 9/10 del caudal total, se obtiene el siguiente resultado:

De modo que el sistema completo responde a la misma curva de permeabilidad relativa que cada una de las capas individuales. 

Nota 1: En este ejemplo sólo se hizo el desarrollo para un punto particular y se mostró que la relación de caudales en el sistema completo es idéntico al de cada una de las capas. El desarrollo completo muestra que la curva de la Fig. 2  también describe el comportamiento del sistema heterogéneo de la Fig 1 en todo el rango de saturaciones móviles.

Nota 2: Si ambas capas poseen diferentes curvas de permeabilidad relativa se puede mostrar que la curva para el bloque heterogéneo adopta la forma del promedio aritmético de ambas curvas, con factores de peso proporcionales a los VP de cada capa..

Resumen 

Este desarrollo puede resumirse en los siguientes puntos.

• Se eligió un modelo muy simple con dos capas de permeabilidad diferente.
• A ambas capas se les asignó iguales valores para el resto de sus propiedades petrofísicas.
• Se calculó simplificadamente la curva de permeabilidad relativa de este modelo, durante un desplazamiento estacionario.
• La curva de permeabilidad relativa obtenida es igual a la curva propia de cada capa.
• Los puntos extremos también obedecen a un promediado simple.
• No se tuvo en cuenta la acción de fuerzas capilares o gravitatorias durante todo el tratamiento.
• La expresión de Dake¹, citada al comienzo de Prom_Curv_KR_1.htm, no parece  aplicable a desplazamientos estacionarios. 

NOTAS

1. Es importante recordar que en este desarrollo sólo se tuvo en cuenta la acción de las fuerzas viscosas. Esta situación esta en concordancia con la medición rutinaria de permeabilidades relativas en laboratorio.
2. Nuevamente la no comunicación entre capas no es necesaria como hipótesis. En el estado estacionario, el flujo cruzado no ocurre aunque las capas estén comunicadas.
3. Nuevamente, para los fines del desarrollo se ha empleado una curva continua de permeabilidad relativa en todo el rango de saturaciones móviles. Esta forma de proceder  no invalida los conceptos expuestos dado que sólo se está analizando el promedio de curvas de permeabilidad relativa. Para las discusiones más detalladas con respecto a la validez de las curvas de permeabilidad relativa deben visitarse los otros desarrollos presentados en este foro. 

En la página Prom_Curv_KR_3.htm se presentan las conclusiones globales, compatibilizando los desarrollos obtenidos para los casos estacionario y no-estacionario. 

1.- Dake, L.: "The Practice of Reservoir Engineering", Ed. Elsevier - Pág. 383