Temas de Ingeniería de Reservorios
Promedios de Curvas de Permeabilidad Relativa. 
Primera Parte: Desplazamientos no-estacionarios
Autor: M. Crotti.

Nuevamente vamos a emplear una frase de L Dake¹ para introducir el tema central de este desarrollo:

"... Under no circumstances, however, must the common practice of "averaging" relative permeability functions be attempted. In this, families of normalized curves, possibly from similar rock types throughout the field, are plotted together ... ... An average set of functions is then sought for water and oil either by "eye-balling" or using more sophisticated computer averaging procedures. The resulting functions are then input to all similar rock types in simulation models. Unfortunately, there is no physical principle that suggests that such a practice has any validity whatsoever. If any form of averaging were considered necessary (which it is not) then it would seem more appropriate to perform it on the fractional flow relationships which have a greater degree of physical reality - but even this is hard to justify. ..."

Donde la siguiente debe tomarse como una traducción no literal del párrafo previo:

"... Bajo ninguna circunstancia debe realizarse la práctica habitual de "promediar" curvas de permeabilidad relativa. Conforme a esta práctica se grafican en forma conjunta familias de curvas normalizadas, posiblemente pertenecientes a tipos similares de roca de un reservorio  ..., ... luego se traza "a ojo de buen cubero" o mediante un elaborado programa de computadora, las curvas "promedio" para la permeabilidad relativa al agua y al petróleo. Posteriormente, las curvas resultantes se emplean para describir los tipos de roca similares en los modelos de simulación. Lamentablemente no existe ningún principio físico que justifique tal procedimiento. Si se considerara necesario la realización de algún tipo de promedio (lo cuál no es cierto) parecería más apropiado realizarlo sobre la curva de flujo fraccional que tiene un mayor grado de realidad física - pero aún este procedimiento resulta difícil de justificar  ...".

Y, aprovechando esta introducción, en el resto del desarrollo analizaremos las dificultades teóricas y prácticas que presenta el promedio de curvas de permeabilidad relativa.

Empecemos mediante el análisis de un sistema muy simple formado por dos capas, tal como el que se muestra en la Fig. 1

En dicha figura se muestra un esquema de dos capas paralelas horizontales de igual espesor. Para simplificar el ejemplo supondremos que ambas capas poseen la misma porosidad, mientras que la granulometría más gruesa de la capa superior le otorga una permeabilidad unas 10 veces más grande que la que posee la capa inferior. 

Asumamos, para los fines del ejemplo, que la capa superior posee una permeabilidad efectiva al petróleo en condiciones de Swirr "Ko[Swirr]" de 90 mD, en tanto que la capa inferior posee una permeabilidad de 10 mD, en las mismas condiciones. El conjunto posee una permeabilidad de 50 mD.

• (90 mD * h + 10 mD  * h) / 2 h = 50 mD 
• Donde h es el espesor de cada capa.

También asumiremos que se han obtenido muestras de los dos niveles y que luego de enviarlas al laboratorio, la determinación experimental muestra que ambos niveles poseen exactamente la misma curva de permeabilidad relativa. Esta curva, que, como ya se estableció, es la misma para ambos niveles, se muestra en la Fig. 2.

La pregunta es, entonces: Cuál es la curva de permeabilidad relativa para todo el bloque indicado en la Fig.1?.

Antes de responder la pregunta, un análisis simple nos muestra que estamos en condiciones "ideales" para obtener la curva promedio pues:

• El reservorio tiene sólo dos capas.
• Cada capa es totalmente homogénea.
• Conocemos las propiedades de cada capa (geometría, espesor, porosidad, permeabilidad, permeabilidad relativa,...)

Por lo tanto, aplicando la metodología de normalización y promedio, concluiríamos que la Fig. 2 también describe la curva de permeabilidad relativa del bloque de la Fig.1 formado por las dos capas.

En otras palabras, cualquier promedio aritmético o geométrico de dos curvas idénticas produce una curva idéntica a ellas.

Veamos, entonces, si esta respuesta es satisfactoria o, mejor aún, en que situación esta respuesta es satisfactoria.

Primer Caso. Flujo no-estacionario

Para simplificar la tarea supondremos inicialmente que ambas capas no están comunicadas y que las movilidades de agua y petróleo son iguales (M=1). En estas condiciones determinaremos sólo un punto intermedio de la curva y, veremos si es coincidente con el gráfico de la Fig. 2.

La Fig. 3 muestra el estado inicial del desplazamiento, cuando el sistema se encuentra en condiciones de Swirr. El color rojo se emplea para indicar que el fluido móvil es petróleo.

La Fig. 4 muestra un estado avanzado de inyección de agua desde el extremo izquierdo de la figura. El color azul se emplea para indicar que el petróleo ha sido desplazado por agua dejando sólo la saturación residual de petróleo (Sor). Debido a la movilidad favorable y a la homogeneidad del medio el desplazamiento es tipo "pistón" en cada nivel, tal como se muestra esquemáticamente. Adicionalmente, no se produce flujo cruzado, debido a la no-comunicación entre niveles, de modo que cada capa se "barre" con independencia de la otra.

Fig. 3 - Estado inicial: Swirr en las dos capas.	Fig. 4 - Etapa avanzada de inyección de agua desde el extremo izquierdo.	Fig. 5 - El agua alcanzó el extremo de  producción (Breakthrough).

En la Fig. 5 se muestra el momento en que el agua alcanza el extremo de producción. En este momento comienza la producción de agua y se puede calcular la permeabilidad relativa a ambas fases del sistema.

La igual movilidad entre ambas fases garantiza que el caudal y la diferencia de presión aplicadas permanezcan constantes a lo largo de la experiencia, pues no existe diferencia entre la resistencia que ofrecen una o la otra fase para desplazarse por el medio poroso. De este modo podemos hacer los cálculos de caudales relativos y de saturación de fases en el instante registrado por la Fig. 5.

La Saturación de agua

En la cara de salida (extremo de producción) la Sw está justo en el punto medio entre las Sw correspondientes a las condiciones de Swirr y de Sor. Esta cuenta es directa pues ambos niveles poseen la misma porosidad y el mismo espesor y uno de los niveles está en condiciones de Swirr en tanto que el otro aún se encuentra en condiciones de Sor.

Adicionalmente, la Sw media en todo el sistema no es muy diferente de esta Sw puntual pues la capa inferior se encuentra invadida sólo en la novena parte de su longitud.

Las Permeabilidades Relativas.

Dado que 9/10 del caudal circulan por la capa superior, en este punto se tiene una producción de agua  correspondiente a 9/10 de la producción que se alcanzará cuando se complete el desplazamiento en la capa inferior.

Mediante un análisis similar se encuentra que la producción de petróleo en este punto es sólo 1/10 de la producción total del sistema (cuando el conjunto estaba en condiciones de Swirr).

Resumiendo los valores calculados, tenemos el siguiente punto dentro del gráfico de curvas de permeabilidad relativa durante un desplazamiento no estacionario dominado por fuerzas viscosas:

Y cuando se grafica este punto, se obtiene el resultado indicado en la Fig 6.

La discrepancia entre estos puntos y las curvas obtenidas por la vía habitual de promediado es muy notable. La Permeabilidad Relativa al agua pasa de un valor cercano a 0.07 a un valor de 0.27, en tanto que la permeabilidad relativa al petróleo desciende de 0.25 a 0.10.

En realidad las curvas de este sistema heterogéneo en un flujo no-estacionario son más parecidas a las que se indican en la Fig. 7.

Las curvas graficadas en la Fig. 7 son sólo esquemáticas, respetando los puntos extremos y el punto de Sw=55% donde se realizaron los cálculos previos. La forma de las curvas obedecen a la tendencia propia de sistemas heterogéneos.

Conceptualmente la forma que adoptan las curvas de permeabilidad relativa en sistemas heterogéneos, durante un desplazamiento no-estacionario obedece a una situación fácil de describir:

• En sistemas heterogéneos siempre existe alguna fracción del medio poroso que se barre mucho más rápidamente que el resto.
• Una vez barrida la zona más permeable, la Sw crece sólo en proporción al VP que aporta esta zona, pero la permeabilidad relativa al agua crece muy marcadamente por tratarse, justamente, de la zona más permeable. 

Resumen 

Este desarrollo puede resumirse en los siguientes puntos.

• Se eligió un modelo muy simple con dos capas de permeabilidad diferente.
• A ambas capas se les asignó iguales valores para el resto de sus propiedades petrofísicas.
• Se calculó simplificadamente la curva de permeabilidad relativa de este modelo, durante un desplazamiento no estacionario.
• La curva de permeabilidad relativa obtenida es muy diferente de la curva propia de cada capa y no sería obtenible por ninguna técnica simple de promediado.
• Los puntos extremos del sistema SI obedecen a un promediado simple.
• No se tuvo en cuenta la acción de fuerzas capilares o gravitatorias durante todo el tratamiento.
• La expresión de Dake, citada al comienzo de esta página, parece totalmente aplicable a estos desplazamientos. 

NOTAS

1. Es importante recordar una vez más que en este desarrollo sólo se tuvo en cuenta la acción de las fuerzas viscosas. Esta situación esta en concordancia con la medición rutinaria de permeabilidades relativas en laboratorio.
2. La no comunicación entre capas no es necesaria como hipótesis cuando se trabaja con igual movilidad para ambas fases (M=1). En este caso dado que los gradiente permanecen lineales e idénticos para ambos niveles, el flujo cruzado no ocurre aunque las capas estén comunicadas.
3. El desarrollo realizado en esta página no tiene en cuenta algunas de las características propias de desplazamientos con movilidad favorable. Para los fines del desarrollo se ha empleado una curva continua de permeabilidad relativa en todo el rango de saturaciones móviles. Esta forma de proceder  no invalida los conceptos expuestos dado que sólo se está analizando el promedio de curvas de permeabilidad relativa. Para las discusiones más detalladas con respecto a la validez de las curvas de permeabilidad relativa deben visitarse los otros desarrollos presentados en este foro. 

1.- Dake, L.: "The Practice of Reservoir Engineering", Ed. Elsevier - Pág. 383