|
Introducción al concepto de
Permeabilidad Relativa
por Marcelo A. Crotti (Última modificación - 18 de junio de 2001).
En esta página se introduce el concepto de curvas de permeabilidad relativa (KR),
a través de un modelo geométrico simple. Este modelo, fácil de
entender, proporciona una visión de las curvas de KR libre de
prejuicios y teorías especiales, pero su empleo apunta principalmente a obtener una visión directa de
muchos de los principales factores que influyen sobre estas
curvas (caudal, gravedad, mojabilidad, heterogeneidad, etc).
El desarrollo se hace mediante el
empleo de un modelo geométrico, la ley de Darcy y algunas
simplificaciones que no afectan la parte conceptual pero agilizan
el desarrollo y el manejo numérico.
El modelo geométrico
puede visualizarse como un bloque de sección cuadrada con
agujeros cilíndricos longitudinales de extremo a extremo. Estos
orificios no se entrecruzan y representan un modelo simplificado
de red poral. En los gráficos presentados sólo se muestra una
sección cuadrada correspondiente a un corte cualquiera,
perpendicular al eje longitudinal del bloque.
Para desarrollar la
sección numérica (indispensable para obtener valores de
permeabilidad relativa) es conveniente recordar que:
- El área empleada en la fórmula de
Darcy corresponde al área global ("bulk") del
sistema en estudio.
- El volumen de los capilares
cilíndricos (conductos), crece con el cuadrado del radio, puesto que la
longitud es constante y el área depende del cuadrado del radio.
VP = p r2 L (Volumen del
Capilar)
- La capacidad de conducir fluidos de
los capilares cilíndricos (conductos), crece con la
cuarta potencia del radio.
Q = p r4 P / (8 µ L) (Ley
de Poiseuille)
De este modo si en un
bloque existe un solo orificio capaz de conducir fluidos, este
orificio otorga una cierta porosidad y una cierta permeabilidad
al bloque. Si se agrega un segundo orificio idéntico al primero,
tanto la porosidad como la permeabilidad se duplican (Para una misma
área del bloque, se tiene el doble de área correspondiente al
VP del sistema y el doble de capacidad de conducir fluidos pues
la misma diferencia de presión genera el doble de caudal).
Pero si en el bloque se
reemplaza el orificio original por uno con el doble de diámetro,
la porosidad crece 4 veces (22) pero la permeabilidad crece
16 veces (24).
Con estos conceptos primarios se puede construir el modelo geométrico en el que
se emplean tres tipos de orificios, con radios 1, 2 y 3 (no
importan las unidades, sino la relación de radios).
La tabla siguiente
muestra el resultado de tener un bloque con sólo un orificio de
los mencionados por vez.
| Sistema |
Características |
 |
Figura
1: 1 orificio de radio 1
Porosidad = 0.1%
Permeabilidad = 0.1 mD
Nota: Los valores de porosidad son
arbitrarios. Se supone que las medidas del sistema se
eligen para generar estos valores
|
 |
Figura
2: 1 orificio de radio 2
Porosidad = 0.4%
Permeabilidad = 1.6 mD
Nota:
Se observa que la
permeabilidad crece más rápidamente que la porosidad.
|
 |
Figura
3: 1 orificio de radio 3
Porosidad = 0.9%
Permeabilidad =
8.1 mD
Nota: Como en el caso anterior, de
acuerdo con la ley de la cuarta potencia del radio, el bloque gana mucha
más
permeabilidad que porosidad.
|
Y a continuación vamos a considerar un medio poroso más complejo y más cercano a la
estructura de los medios porosos naturales (Figura 4).
|
Figura 4: 100
orificios de radio 1,
20 de radio 2 y 10 de radio 3
|
En base a la aditividad
de las propiedades de los diferentes capilares (conductos
idénticos no comunicados), las propiedades del bloque pueden obtenerse mediante
un cálculo simple (Tabla 1):
Tabla
1- Propiedades del Modelo
|
Orificio
|
Cantidad
|
Porosidad
|
Permeabilidad
|
1
|
100
|
10 % (100*0.1%)
|
10 mD (100*0.1
mD)
|
2
|
20
|
8 % (20*0.4%)
|
32 mD (20*1.6
mD)
|
3
|
10
|
9 % (10*0.9%)
|
81 mD (10*8.1
mD)
|
Todos
|
130
|
27 % (10+8+9)
|
123 mD (10+32+81)
|
Este modelo simple
presenta algunas características comunes con los medios reales:
- Tiene cantidades importantes de
capilares pequeños, medianos y grandes.
- Si bien los volúmenes porales
correspondientes a las tres familias de capilares son
similares, la capacidad de conducción está dominada por
los capilares más grandes de la red poral.
En base a lo desarrollado, si este modelo de medio
poroso (con un 27% de porosidad), se llena
con petróleo, conduce esta fase con una permeabilidad de 123 mD.
Si a continuación se comienza a desplazar el petróleo con agua,
asumiendo que no existen fases residuales (conforme al modelo de
capilares uniformes), el sistema conducirá ambas fases de
acuerdo con los capilares ocupados por cada una de ellas.
Primer Caso: Desplazamiento a bajo caudal con mojabilidad al agua.
En este caso la
mojabilidad al agua garantiza que el agua invade en primera
instancia los capilares más pequeños.
En las siguientes
figuras se muestra el resultado de la invasión progresiva con
agua.
|
Figura 5. Sólo
10 capilares pequeños invadidos con agua.
|
En la Fig. 5 los
valores calculados para el modelo son:
-
Sw = 3.7 % VP (10 * 0.1% / 27%)
-
So = 96.3 % VP (100% - 3.7%)
-
Kw = 1.0 mD (10 * 0.1 mD)
-
Ko = 122 mD (123 mD - 1 mD)
-
Krw = 0.0081 (1.0 mD / 123 mD)
-
Kro = 0.9919 (122 mD / 123 mD)
|
Figura 6. Todos
los capilares pequeños invadidos con agua.
|
Los mismos cálculos en
la Fig. 6 permiten obtener:
-
Sw = 37 % VP
-
So = 63 % VP
-
Kw = 10 mD
-
Ko = 112 mD
-
Krw = 0.081
-
Kro = 0.919
A esta altura la tercera parte del sistema está
invadida con agua, pero para el petróleo se conserva más del 90 % de la capacidad de
conducción original.
|
Figura 7. Los
capilares pequeños y medianos invadidos con agua.
|
En tanto que en la Fig.
7 resulta:
-
Sw = 66.7 % VP
-
So = 33.3 % VP
-
Kw = 42 mD
-
Ko = 81 mD
-
Krw = 0.341
-
Kro = 0.659
Y representando
gráficamente estos cálculos se obtiene la curva de
Permeabilidad relativa de la Figura 8, fácilmente interpretable
en base al desarrollo del modelo.
|
Figura 8. Curva
de KR con caudales bajos y mojabilidad al agua.
|
Como se observa en el gráfico,
durante el llenado de los capilares más finos, crece la saturación de agua
sin incrementar, apreciablemente, la capacidad de conducir este fluido. Recién cuando comienzan a
llenarse los capilares de mayor diámetro, el agregado de agua comienza a
afectar notablemente la capacidad de conducir petróleo.
Segundo Caso: Mojabilidad al Petróleo.
En este caso (Fig. 9) la situación es la inversa de la del caso analizado,
pues los primeros capilares en ser invadidos por agua son los de mayor diámetro
|
Figura 9.
Sistema mojable al petróleo.
|
Tercer Caso: Llenado Gravitacional.
En este caso el llenado con agua se produce siguiendo el ordenamiento
vertical de las capas. Las primeras capas en inundarse son las inferiores. La
forma de la curva (Figura 10) refleja el ordenamiento de las capas.
|
Figura 10.
Llenado con predominio de las Fuerzas Gravitacionales.
|
Cuarto Caso: Llenado Gravitacional con distribución al azar de las capas.
En este caso el modelo del medio poroso tiene los poros
distribuidos al azar. De esta forma al subir el nivel de agua (llenado bajo
dominio de las fuerzas gravitatorias) la permeabilidad al agua crece en forma uniforme
pues en cada etapa se inundan poros pequeños, medianos y grandes en la misma
proporción que se encuentran en el modelo. Cuando se ha invadido el 25 % de los
poros, la fase acuosa alcanzó el 25 % de su conductividad máxima y el petróleo
perdió el mismo 25 % (Figura 11).
|
Figura 11.
Predominio gravitatorio con capilares distribuidos al
azar
|
Aclaraciones:
- El modelo supone que no existen fases
residuales (Sor = Swirr = 0), pero es perfectamente
válido adoptando valores no nulos para estas variables.
- Debido al reemplazo total de petróleo
con agua el sistema mantiene permanentemente la capacidad
total de conducir fluidos (130 mD). Con cada reemplazo de petróleo por
la fase acuosa, la capacidad de conducir petróleo se
traslada a la capacidad de conducir agua (sin embargo, como es natural, los
caudales dependen también de la viscosidad de cada fase,
conforme a la ley de Darcy).
- Un sistema "water-wet" con
capilares de diferente diámetro, sometido a altos
caudales de desplazamiento puede comportarse como
"oil-wet" pues las fuerzas viscosas favorecen
la invasión de los capilares de mayor conductividad
(mayor diámetro) con independencia de la mojabilidad. Por lo tanto la
figura 9 también corresponde a un sistema water-wet a
elevados caudales de inyección.
Consecuencias
Principales:
Si bien éste es un
desarrollo introductorio al concepto de Permeabilidad Relativa,
el modelo presentado permite sacar algunas conclusiones válidas
para los sistemas reales:
- Si bien la porosidad y la
permeabilidad son propiedades del medio poroso, la permeabilidad relativa no lo es.
- Aún especificando el medio poroso y
el juego de fluidos, las curvas de KR dependen
fuertemente de los mecanismos de producción.
- Como resultado de los puntos
anteriores es impropio hablar de las curvas de KR de un
medio poroso, sin especificar las demás variables
(particularmente el mecanismo de desplazamiento).
- Los valores de saturación y permeabilidad en los
puntos extremos de las curvas KR son independientes del mecanismo de
desplazamiento. (En los sistemas reales ésta es sólo una aproximación
al comportamiento físico).
Nota: Para aquellos que
hayan leído, en este foro, el comentario sobre saturaciones medias
y puntuales es conveniente destacar las razones por las que no hago
referencia a ninguna de las dos en este modelo simple. Naturalmente el modelo
aquí desarrollado emplea las saturaciones puntuales pues
todo el desarrollo se hace sobre un corte bidimensional y no se establece la
saturación total del bloque. Pero a
esta altura creo que no es conveniente hacer más complejo el
desarrollo. La diferencia entre ambos tipos de representación de las curvas KR
se trata extensamente en otros desarrollos de este foro.
Mas temas sobre el movimiento de fluidos en el reservorio
Volver a la página principal
|
