PSEUDO
FUNCIONES
Un
Ejemplo para Analizar
por Marcelo Crotti (Última modificación -
20 de abril de
2000).
Es posible que el
ejemplo desarrollado en esta página deba ser leído con mucho detenimiento para
comprender en toda su magnitud el mensaje asociado. Básicamente
presentaré una demostración simple de dos puntos que son incompatibles
con el uso habitual de las curvas de KR. Estos dos puntos pueden resumirse de la
siguiente forma:
-
Dos historias
de producción totalmente diferentes pueden tener asociada la misma curva de
Permeabilidad Relativa.
-
Cuando
intervienen fuerzas capilares y gravitatorias, el uso de pseudo funciones
presenta severas restricciones, incluso cuando se tienen en cuenta estas
fuerzas para desarrollar las pseudo-funciones. (No estoy haciendo
referencia a un problema constructivo sino a un serio problema conceptual).
El Ejemplo
Para la demostración voy a usar un típico esquema de
reservorio en capas para derivar las pseudo-funciones de KR, empleando dos
situaciones extremas.
-
Capas totalmente no-comunicadas (sin cross-flow), con
predominio total de las fuerzas viscosas.
-
Capas totalmente comunicadas con predominio total de
las fuerzas gravitatorias.
El esquema de reservorio se puede ver en la figura
1, con 10 capas de igual espesor, igual porosidad y permeabilidades crecientes del tope
hacia la base. Las permeabilidades se han elegido crecientes de 1 a 10 mD, en
forma arbitraria.
|
Fig.-1 . Esquema de
reservorio horizontal con 10 capas paralelas |
Aunque las conclusiones son válidas para cualquier
modelo más complejo, el empleo de un modelo simple permite entender
cabálmente el planteo realizado y sus consecuencias.
Por razones que se harán evidentes más adelante (y que
se relacionan con la posibilidad de emplear el concepto de KR) se elige una
relación de movilidades igual a 1 (M = (kw/uw)/(Ko/uo)
= 1), asumiendo un desplazamiento tipo
"pistón" para el caso de desplazamiento viscoso.
Para construir las pseudo-funciones de KR se procederá
de acuerdo a la metodología de amplia aceptación, desarrollada por Dake.
Para ello se construye la KR puntual en la cara de salida, resolviendo caudales
y saturación de fases en el extremo de producción (identificado con el
sub-índice "2").
Primer caso: Capas no comunicadas
En este caso cada capa es barrida a
una velocidad que se relaciona en forma directa con su permeabilidad. Como las
movilidades son iguales (M=1), una vez establecida la presión de
desplazamiento, el reemplazo de una fase por otra no afecta el caudal total de
la capa. De este modo, la capa de permeabilidad = 10 mD se barre 10 veces más
rápido que la capa de permeabilidad = 1mD.
Para realizar las cuentas voy a asumir
una serie de valores típicos para los parámetros significativos. De este modo
en todas las capas se asignan:
-
Swi= 25 %
-
Sor = 30 %
-
Kro[Swirr] = 1.00
-
Krw[Sor] = 0.33
-
Uo = 3.00 cp
-
Uw 1.00 cp
-
Desplazamiento = Pistón Perfecto
Cuando se produce el breakthrough en
la capa más permeable (cuando el frente de agua alcanza la cara de
producción), la capa menos permeable está barrida en sólo un 10% de su
longitud, y las demás capas, en forma proporcional a su permeabilidad. Esta
situación se ejemplifica en la Figura 2.
|
Fig.-2 . Capas no
comunicadas. Saturación de agua al "Breakthrough" de la capa
más permeable |
De este modo, la saturación de agua
en el extremo de producción (Sw2), en las condiciones de la Fig. 2
puede calcularse como:
Sw2 = Swirr + 0.1 *
(100-Swirr-Sor) = 25 + 0.1 * (100 - 25 - 30) = 29.5
Y la permeabilidad relativa al agua
es:
Krw2 = 0.33 * 10 /
(10+9+...+1) = 0.33 * 10 / 55 = 0.061
Y repitiendo los cálculos a medida
que evoluciona el desplazamiento se obtiene la siguiente curva de KR (Fig. 3).
|
Fig.-3 . Curva de KR para el
sistema de la Fig. 2 |
Cuya tabla de valores es (Tabla I):
Tabla I - Curva de KR para
el sistema de la Fig. 2 |
Sw2 |
Kro |
Krw |
Krw/Kro |
25.00 |
1.000 |
- |
- |
29.50 |
0.818 |
0.061 |
0.07 |
34.00 |
0.655 |
0.115 |
0.18 |
38.50 |
0.509 |
0.164 |
0.32 |
43.00 |
0.382 |
0.206 |
0.54 |
47.50 |
0.273 |
0.242 |
0.89 |
52.00 |
0.182 |
0.273 |
1.50 |
56.50 |
0.109 |
0.297 |
2.72 |
61.00 |
0.055 |
0.315 |
5.78 |
65.50 |
0.018 |
0.327 |
18.00 |
70.00 |
- |
0.333 |
|
Segundo caso: Capas comunicadas con total segregación
gravitacional.
En este caso las capas se van
acuatizando desde la base hacia el tope pues el agua inyectada alcanza el
equilibrio gravitacional con el petróleo dentro del medio poroso. De este modo,
la capa de permeabilidad = 10 mD se barre primero, sencillamente porque está en
la parte baja de la estructura. En la Figura 4 se esquematiza la situación para
cuando la capa inferior está completamente acuatizada.
|
Fig.-4 . Equilibrio
Vertical. Saturación de agua al completarse el barrido de la capa más
permeable |
Y haciendo las cuentas, como en el
caso anterior, se obtiene EXACTAMENTE la misma pseudo función que para el caso
de capas no comunicadas, puesto que las capas se llenan exactamente en el mismo
orden.
Sorprendente?.
Por supuesto !!!. Pueden hacerse las
cuentas, pero es evidente que las historias de producción son totalmente
diferentes. Puede observarse, por comparación de las figuras 2 y 4, que aunque
se tiene la misma RAP en los dos casos (la capa más permeable produciendo agua
y todas las otras petróleo) la acumulada de petróleo es mucho más grande en
la Fig. 2 que en la Fig. 4.
Las Aclaraciones
- En el primer caso estudiado se estableció que las
capas no estaban comunicadas. Esta restricción no es necesaria con M=1 pues
en estas condiciones los gradientes de presión en todas las capas son
idénticos (lineales) y, por lo tanto la única fuerza impulsora para el
"cross flow" es la gravitatoria. Y la fuerza gravitatoria pierde
importancia con viscosidades elevadas, pequeñas diferencias de densidad,
bajas permeabilidades verticales y altas velocidades de flujo.
- En base a la aclaración previa puede observarse que
los dos casos presentados son posibles en el mismo reservorio. Con altos
caudales el sistema se aproxima al del caso 1, y con muy bajos caudales, la
acción de la gravedad hace más representativa la situación presentada en
el caso 2.
- Para ayudar a comprender el mecanismo de producción
con equilibrio vertical (predominio de las fuerzas gravitatorias) puede
hacerse una visualización por etapas:
- En una primera etapa (y para un tiempo corto de
inyección), en el extremo de inyección cada capa admite un volumen de agua en relación directa a su permeabilidad. En el extremo de
producción de cada capa se produce el mismo volumen que el inyectado
(suposición de fluidos incompresibles).
Las capas no acuatizadas producen petróleo y las acuatizadas sólo
agua.
- En una segunda etapa (sólo a los fines de la
visualización) el agua se reacomoda de acuerdo con la acción de la
gravedad (conviene pensar en este punto como si se cerrara el sistema
hasta alcanzar el equilibrio en función de la densidad de las
diferentes fases).
-
Se vuelve
a la primera etapa.
De esta forma
todas las capas producen (dado que tienen un gradiente de presión aplicado
entre ambos extremos), pero el "frente" de agua avanza en el
sentido vertical entre etapa y etapa.
- En el ejemplo desarrolado, técnicamente las pseudo
funciones son diferentes para los dos sistemas. En el primer caso la
función es escalonada y en el segundo los puntos están unidos por líneas
rectas continuas conforme al esquema de llenado. Sin embargo la división en
10 capas es arbitraria. Pueden elegirse tantas capas como se crea necesario
para definir una función continua o simplemente una gradación continua de
permeabilidades ("infinitas" capas) con idéntico resultado que el
desarrollado en este planteo.
Las Consecuencias
Como resultado directo del ejemplo disponemos de un caso
simple donde se muestra que la misma curva de Permeabilidad Relativa puede
corresponder a dos historias de producción muy diferentes.
Como se discute más adelante, este caso no es una
excepción. Por el contrario es la regla para todos los casos en que las fuerzas
involucradas en el desplazamiento no sean sólo las viscosas.
A esta altura cabe hacerse una pregunta simple: Como
puede determinarse si en el reservorio están actuando sólo las fuerzas
viscosas?
La respuesta también es "simple": Si la relación de producción
(agua-petróleo o gas-petróleo) depende de los caudales, existe una fuerte
indicación de que hay otras fuerzas implicadas en los mecanismos de
producción. La teoría del desplazamiento frontal (que caracteriza el
desplazamiento viscoso) es la única que muestra independencia de la relación
de producción con el caudal.
Las Explicaciones
Parece evidente que en alguna parte del ejemplo
desarrollado cometí alguna transgresión, puesto que uno de los supuestos
básicos en los cálculos de reservorio es que existe una dependencia directa
entre la curva de permeabilidad relativa y la historia de producción. Y, por
supuesto, la transgresión existe. Pero es mucho más profunda que un ejemplo
engañoso o mal analizado.
En realidad el ejemplo es transparente y lo que está
poniendo de manifiesto es una falla seria en las simplificaciones habituales.
Para poder detectar esta falla, voy a tratar de desmenuzar la cadena de
razonamientos que acompaña al uso habitual de las curvas KR (directas o
pseudo-funciones). Esta cadena puede enunciarse de la siguiente forma.
- La ley de Darcy describe razonablemente bien el flujo
monofásico en un medio poroso. La parte más simple, que quiero destacar
por su importancia, establece que el caudal es proporcional al gradiente de
presión.
- La ley de Darcy es muy simple y casi
"intuitiva".
- El flujo multifásico se aparta notoriamente de la ley
de Darcy. El caudal pasa a depender notoriamente de otras variables
(saturación de fases, historia de saturaciones, mojabilidad, etc, etc).
- Por facilidad conceptual y numérica es frecuente
conservar las leyes simples con factores de corrección adecuados para
alejamientos de la "idealidad".
- Las curvas de permeabilidad relativa constituyen el
"factor" de corrección para la ley de Darcy. A cada saturación
del sistema se le aplica un factor de corrección variable entre 0 y 1. La
experiencia demostró que este factor no es predecible ni correlacionable y
depende de numerosas variables.
- La práctica generó dos definiciones, generalmente no
bien diferenciadas para el término permeabilidad relativa. A nivel de
laboratorio es la curva obtenida en función de las saturaciones puntuales,
originada sólo por efecto de las fuerzas viscosas luego de simplificar y
establecer las demás variables del sistema. A nivel de reservorio es la
curva que permite predecir los caudales de producción en función de la
saturación media del sistema y que es el resultado del mecanismo de
producción que involucra todas las fuerzas en equilibrio y variables
conocidas (o no) del reservorio.
- Para un medio poroso y un juego de fluidos elegido,
existen "infinitas" curvas de KR, puesto que existen
"infinitos" equilibrios entre las tres fuerzas principales
impulsoras de la producción. Y cada fuerza da lugar a un juego diferente de
curvas KR vs saturación. Hasta los puntos extremos de saturación dependen
del mecanismo de producción.
- El desarrollo de Buckley y Leverett, completado con el
trabajo de Welge, permitió derivar una relación simple, para sistemas
lineales, entre la curva de flujo fraccional y los parámetros fundamentales
del desplazamiento inmiscible (regido por fuerzas viscosas).
- El desarrollo de Welge permitió relacionar la
saturación media del sistema con la saturación del extremo de producción
(cuando el mecanismo de producción obedece al desplazamiento viscoso).
- La construcción de la curva de flujo fraccional no
depende de ninguna teoría. Es sólo un gráfico de la dependencia de los
caudales de producción, con la saturación de fases en el extremo de
producción.
- La interpretación habitual de la curva de flujo
fraccional SÍ depende de una teoría (la teoría del avance frontal de
Buckley y Leverett / Welge).
- Dado que se disponía de una excelente descripción del
desplazamiento inmiscible para sistemas lineales, se dio por sentado que
todo sistema "reducible" a un sistema lineal debía responder a
las ecuaciones del sistema lineal (un supuesto increíblemente débil).
- Las pseudo-funciones de KR son una herramienta
destinada a reducir sistemas complejos a sistemas más simples (generalmente
se intenta obtener una curva que describa un sistema lineal equivalente al
sistema complejo).
Para mostrar la debilidad del argumento señalada en el
punto 12, puedo recurrir a millares de ejemplos físicos donde un sistema
complejo que se reduce a una formulación más simple automáticamente pierde
posibilidades de descripción de la realidad.
- Cuando un conjunto de fuerzas se reemplaza por una
resultante, esa resultante es incapaz de explicar los detalles del sistema.
Puedo emplear una fuerza resultante para cálcular el tiempo en que un
vehículo recorrerá los siguientes 100 m. Pero esa resultante no me permite
explicar por qué se rompió una biela en el mismo trayecto, o por qué se
perforó la tapa de cilindros, o por qué el conductor apretó mal los
pedales y no pudo alcanzar la velocidad prevista. Las teorías simples son
maravillosas, pero los detalles a veces son fundamentales.
- Si, para describir la temperatura de un gas se emplea
sólo la velocidad media de las moléculas y más adelante se emplea esa
velocidad para describir la velocidad de las reacciones químicas en las que
inteviene el gas, los cálculos resultan erróneos pues a cualquier
temperatura hay moléculas con velocidades por encima y por debajo de la
media. La velocidad media permite predecir la presión, pero no la velocidad
de las reacciones químicas.
- etc, etc.
Sin embargo prefiero emplear el ejemplo que estoy
desarrollando en esta página.
En la figura 2 se observa que la saturación en el extremo
de producción (Sw2) es muy diferente a la saturación media del sistema. Pero
en la figura 4 ambas saturaciones son iguales !!. Es evidente que el desarrollo
de Welge no puede aplicarse a la producción ejemplificada en la figura 4. La
pseudo función es correcta. El uso de la pseudo-función es incorrecto si se
pretende usar la curva de flujo fraccional en su forma habitual. O sea que nos
encontramos decidídamente frente a un caso reducido a un sistema lineal donde
no son aplicables las ecuaciones del sistema lineal.
Donde está la inconsistencia?. En que en el desarrollo de
Buckley y Leverett se eliminó el equilibrio gravitacional para hacer la
deducción de las ecuaciones. No es sorprendente que esas ecuaciones no
describan el resultado del equilibrio gravitacional.
En realidad la falla es muy profunda: Al validar las
ecuaciones del desplazamiento frontal para todos los sistemas lineales se le
está dando validez a las fórmulas fuera del estricto ámbito en que fueron
desarrolladas.
Y si a esta altura el comentario es: De acuerdo, pero no
tengo nada mejor y por lo tanto seguiré usando este modelo, debo aclarar que
con poco esfuerzo se puede emplear un modelo mucho más consistente. Cuando se
identifica y se entiende el problema, recién se está en condiciones de
resolverlo.
Otras aclaraciones pertinentes:
La simulación numérica con la curva de la figura 3,
genera una historia de producción en concordancia con el modelo del caso 1
(fig. 2). Esto no es sorprendente pues (aunque parezca extraño por ser un
sistema laminado) este modelo (M=1) cumple con el desarrollo de Buckley y
Leverett.
Cuando empecé este desarrollo mencioné que elegía la
relación de movilidades igual a 1. Ahora espero mostrar por qué es necesario
hacerlo:
En el ejemplo de la figura 2 (capas no comunicadas) para
calcular las pseudo-funciones de KR se emplea la ley de Darcy, relacionando
caudales con gradientes de presión. Y esto es posible sólo porque el gradiente
de presiones es el mismo en todas las capas y además es el mismo a lo largo de
toda la longitud del modelo. En cuanto M deja de tener el valor 1, los
gradientes en cada capa sufren un quiebre en la interfase (o una variación
continua), diferente para cada capa. En ese caso el cálculo de la curva de KR
en el extremo de producción es conceptualmente incongruente pues si bien
existen caudales de producción no existe un gradiente de presiones único
(además, la relación entre los gradientes de las diferentes capas es variable
en el tiempo). Y la ley de Darcy para el conjunto necesita un gradiente único
en cada punto del cálculo.
En consecuencia. la curva de KR derivada en la figura 2
para M=1 no sólo no es válida para otros valores de M, sino que carece de
significado físico, pues la ley de Darcy no es definible en el extremo de
producción.
Sin embargo es definible una curva KR media. Pues existen
caudales medios, saturaciones medias y gradientes medios (identicos para todas
las capas).
Las Conclusiones
Por ahora quiero
destacar únicamente dos conclusión de todo este desarrollo.
Es
marcadamente incorrecto emplear las ecuaciones de Welge para describir sistemas
lineales o pseudo-lineales en los que intervienen otras fuerzas además de las
fuerzas viscosas.
El
concepto de permeabilidad relativa pierde sentido físico cuando lo pierde la
ley de Darcy. Las curvas KR son un factor de corrección de la ley de Darcy. Y
esta ley pierde sentido físico cuando no se pueden establecer las variables que
relaciona (en particular caudal y gradiente de presiones).
Dejo para más
adelante, la resolución completa del problema pues es necesario establecer
otros puntos antes de plantear un desarrollo consistente.
Mas temas sobre el movimiento de fluidos en el reservorio
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1 - Forchheimer, P: “Wasserbewegung durch Boden”, ZVDI (1901) vol. 45 1781.
2
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- Jakobse, S.R., Ingsoy, P., Braun, T., Guo, Y., Aga, M.: “Assessing the
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